1. Madgwickフィルターとは

Madgwickフィルターとは、相補フィルターの一種。

3軸角速度計と3軸加速度計からなるIMU(慣性計測装置、英: inertial measurement unit)と、さらに3軸地磁気計も追加したMARG(英：Magnetic, Angular Rate and Gravity)に適用可能な方位フィルタの事。

各センサーには以下に示す長所と短所が有り、それぞれの短所をそれぞれの長所で相互に補う事で三次元姿勢推定精度を向上させています。

〇加速度計の長所「準静的な運動において重力方向から傾斜角を推定できる」

〇加速度計の短所「センサ動特性による遅れが発生する」

〇角速度計の長所「動的な姿勢変化を測定できる」

〇角速度計の短所「姿勢を求める際の積分に伴い誤差が累積する」

〇地磁気計の長所「初期の地磁気方向と現在の出力の照合により方位を推定できる」

〇地磁気計の短所「周辺環境の磁気外乱が影響する」

※こちらの資料「MARGセンサの動特性を補償した三次元姿勢推定のための非線形相補フィルタ」も参考にさせて頂きました。

具体的にMARGの場合には、磁気歪みおよび角速度計バイアスドリフト補償が組み込まれています。

このフィルタはクォータニオン(四元数)表現を使用して、加速度計データと地磁気計データを解析的に導出し、最適化された勾配降下アルゴリズムを使用して角速度計測定誤差の方向を四元数導関数として図1の様に計算します。

図1：磁気ひずみ(Group1)及び角速度計ドリフト(Group2)補償を含む

MARGのための方向フィルタブロック図

〇図1 A～L関数が持つ機能(※1文献を読んだ私の理解)です

間違ってたらご指摘ください

　A ：地磁気の傾きによる誤差を補正

　B ：地球を基準とした方向にx・z軸成分のみ正規化

　C ：勾配降下法によるアルゴリズムによって最適化

　D ：方位の推定変化率

　E ：姿勢変化率の推定誤差の正規化された方向(ｼﾞｬｲﾛｽｺｰﾌﾟの各軸の角度誤差)

　F ：時間で積分

　G ：加速度計の誤差積分値に対する利得(重み付け)

　H ：四元数積(方位の積を計算)

　I ：時刻tにおける地球を基準としたセンサの向き(推定値)

　J ：平均をゼロとした全ての加速度計測定誤差によるフィルタの利得。

　K ：推定した方位

　L ：推定した方位を次計算へフィードバック

2. Madgwickフィルターの利点

IMU(6軸)やMARG(9軸)から姿勢を推定するフィルターとして、代表的な物に「Kalmanフィルター」が有ります。

これと比較して、今回検討している「Madgwickフィルター」が持つ利点を以下2.1～2.4に示します。

2.1 計算負荷が軽い

反復の無い勾配降下法を使用する事で、IMUで109回、MARGで277回(図2参照)と、少ない演算回数でフィルタの更新が可能。

/*引用元「An efficient orientation filter for inertial and inertial/magnetic sensor arrays」Sebastian O.H. Madgwick(April 30, 2010)」*/

#include  <math.h>    //'sqrt'に数学ライブラリが必要  
/*システム定数*/
#define  deltat  0.001f  // 1秒間のサンプリング周期（秒単位）
#define  gyroMeasError 3.14159265358979 * (5.0f / 180.0f) //角速度計の測定誤差（rad / s）（5 deg / sと表示）
#define  gyroMeasDrift 3.14159265358979 * (0.2f / 180.0f) //角速度計測定誤差（rad / s / s）（0.2f deg / s / sとして示す）
#define  beta  sqrt(3.0f  /  4.0f)  *  gyroMeasError  // ベータを計算する
#define  zeta  sqrt(3.0f  /  4.0f)  *  gyroMeasDrift  // ゼータを計算する
/*グローバルシステム変数*/
float  a_x, a_y, a_z; // 加速度計の測定
float  w_x, w_y, w_z; //  角速度計のrad / s単位の測定
float  m_x, m_y, m_z; // 地磁気計の測定
float  SEq_1  =  1,  SEq_2  =  0,  SEq_3  =  0,  SEq_4  =  0; // 初期条件付き推定方位四元数要素
float  b_x = 1, b_z = 0; // 地球フレームにおけるフラックスの基準方向
float  w_bx = 0, w_by = 0, w_bz = 0; // 推定角速度計バイアス誤差


/*1つのフィルタ反復を計算する関数*/
void  filterUpdate(float w_x, float w_y, float w_z, float a_x, float a_y, float a_z, float m_x, float m_y, float m_z) {
  /*ローカルシステム変数*/
  float norm; // ベクトルノルム
  float SEqDot_omega_1, SEqDot_omega_2, SEqDot_omega_3, SEqDot_omega_4; //  角速度計要素からの四元数
  float f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6; // 目的関数要素
  float J_11or24, J_12or23, J_13or22, J_14or21, J_32, J_33, J_41, J_42, J_43, J_44, J_51, J_52, J_53, J_54, J_61, J_62, J_63, J_64; //目的関数ヤコビ行列要素
  float SEqHatDot_1, SEqHatDot_2, SEqHatDot_3, SEqHatDot_4; //角速度計誤差の推定方向
  float w_err_x, w_err_y, w_err_z; //  角速度計誤差の推定方向（角度）
  float h_x, h_y, h_z; // 地球フレームにおける計算されたフラックス
  /*再計算された計算を避けるためのaxulirary変数*/
  float halfSEq_1 = 0.5f * SEq_1;
  float halfSEq_2 = 0.5f * SEq_2;
  float halfSEq_3 = 0.5f * SEq_3;
  float halfSEq_4 = 0.5f * SEq_4;
  float twoSEq_1 = 2.0f * SEq_1;
  float twoSEq_2 = 2.0f * SEq_2;
  float twoSEq_3 = 2.0f * SEq_3;
  float twoSEq_4 = 2.0f * SEq_4;
  float twob_x = 2.0f * b_x;
  float twob_z = 2.0f * b_z;
  float twob_xSEq_1 = 2.0f * b_x * SEq_1;
  float twob_xSEq_2 = 2.0f * b_x * SEq_2;
  float twob_xSEq_3 = 2.0f * b_x * SEq_3;
  float twob_xSEq_4 = 2.0f * b_x * SEq_4;
  float twob_zSEq_1 = 2.0f * b_z * SEq_1;
  float twob_zSEq_2 = 2.0f * b_z * SEq_2;
  float twob_zSEq_3 = 2.0f * b_z * SEq_3;
  float twob_zSEq_4 = 2.0f * b_z * SEq_4;
  float SEq_1SEq_2;
  float SEq_1SEq_3 = SEq_1 * SEq_3;
  float SEq_1SEq_4;
  float SEq_2SEq_3;
  float SEq_2SEq_4 = SEq_2 * SEq_4;
  float SEq_3SEq_4;
  float twom_x = 2.0f * m_x;
  float twom_y = 2.0f * m_y;
  float twom_z = 2.0f * m_z;
  /*加速度計の測定値を正規化する*/
  norm = sqrt(a_x * a_x + a_y * a_y + a_z * a_z);
  a_x /= norm;
  a_y /= norm;
  a_z /= norm;
  /*地磁気計の測定値を正規化する*/
  norm = sqrt(m_x * m_x + m_y * m_y + m_z * m_z);
  m_x /= norm;
  m_y /= norm;
  m_z /= norm;
  /*目的関数とヤコビ行列を計算する*/
  f_1 = twoSEq_2 * SEq_4 - twoSEq_1 * SEq_3 - a_x;
  f_2 = twoSEq_1 * SEq_2 + twoSEq_3 * SEq_4 - a_y;
  f_3 = 1.0f - twoSEq_2 * SEq_2 - twoSEq_3 * SEq_3 - a_z;
  f_4 = twob_x * (0.5f - SEq_3 * SEq_3 - SEq_4 * SEq_4) + twob_z * (SEq_2SEq_4 - SEq_1SEq_3) - m_x;
  f_5 = twob_x * (SEq_2 * SEq_3 - SEq_1 * SEq_4) + twob_z * (SEq_1 * SEq_2 + SEq_3 * SEq_4) - m_y;
  f_6 = twob_x * (SEq_1SEq_3 + SEq_2SEq_4) + twob_z * (0.5f - SEq_2 * SEq_2 - SEq_3 * SEq_3) - m_z;
  J_11or24 = twoSEq_3;   //行列乗算が無効にされたJ_11
  J_12or23 = 2.0f * SEq_4;
  J_13or22 = twoSEq_1;   //行列乗算が無効にされたJ_12
  J_14or21 = twoSEq_2;
  J_32 = 2.0f * J_14or21; //行列乗算が否定された
  J_33 = 2.0f * J_11or24; // 行列乗算が否定された
  J_41 = twob_zSEq_3; // 行列乗算が否定された
  J_42 = twob_zSEq_4;
  J_43 = 2.0f * twob_xSEq_3 + twob_zSEq_1; // 行列乗算が否定された
  J_44 = 2.0f * twob_xSEq_4 - twob_zSEq_2; // 行列乗算が否定された
  J_51 = twob_xSEq_4 - twob_zSEq_2; // 行列乗算が否定された
  J_52 = twob_xSEq_3 + twob_zSEq_1;
  J_53 = twob_xSEq_2 + twob_zSEq_4;
  J_54 = twob_xSEq_1 - twob_zSEq_3; // 行列乗算が否定された
  J_61 = twob_xSEq_3;
  J_62 = twob_xSEq_4 - 2.0f * twob_zSEq_2;
  J_63 = twob_xSEq_1 - 2.0f * twob_zSEq_3;
  J_64 = twob_xSEq_2;
  /*勾配を計算する（行列乗算）*/
  SEqHatDot_1 = J_14or21 * f_2 - J_11or24 * f_1 - J_41 * f_4 - J_51 * f_5 + J_61 * f_6;
  SEqHatDot_2 = J_12or23 * f_1 + J_13or22 * f_2 - J_32 * f_3 + J_42 * f_4 + J_52 * f_5 + J_62 * f_6;
  SEqHatDot_3 = J_12or23 * f_2 - J_33 * f_3 - J_13or22 * f_1 - J_43 * f_4 + J_53 * f_5 + J_63 * f_6;
  SEqHatDot_4 = J_14or21 * f_1 + J_11or24 * f_2 - J_44 * f_4 - J_54 * f_5 + J_64 * f_6;
  /*勾配を正規化して角速度計誤差の方向を推定する*/
  norm = sqrt(SEqHatDot_1 * SEqHatDot_1 + SEqHatDot_2 * SEqHatDot_2 + SEqHatDot_3 * SEqHatDot_3 + SEqHatDot_4 * SEqHatDot_4);
  SEqHatDot_1 = SEqHatDot_1 / norm;
  SEqHatDot_2 = SEqHatDot_2 / norm;
  SEqHatDot_3 = SEqHatDot_3 / norm;
  SEqHatDot_4 = SEqHatDot_4 / norm;
  /*角速度計誤差の角度推定方向を計算する*/
  w_err_x = twoSEq_1 * SEqHatDot_2 - twoSEq_2 * SEqHatDot_1 - twoSEq_3 * SEqHatDot_4 + twoSEq_4 * SEqHatDot_3;
  w_err_y = twoSEq_1 * SEqHatDot_3 + twoSEq_2 * SEqHatDot_4 - twoSEq_3 * SEqHatDot_1 - twoSEq_4 * SEqHatDot_2;
  w_err_z = twoSEq_1 * SEqHatDot_4 - twoSEq_2 * SEqHatDot_3 + twoSEq_3 * SEqHatDot_2 - twoSEq_4 * SEqHatDot_1;
  /*角速度計のベイズを計算して除去する*/
  w_bx += w_err_x * deltat * zeta;
  w_by += w_err_y * deltat * zeta;
  w_bz += w_err_z * deltat * zeta;
  w_x -= w_bx;
  w_y -= w_by;
  w_z -= w_bz;
  /*角速度計によって測定された四元数を計算する*/
  SEqDot_omega_1 = -halfSEq_2 * w_x - halfSEq_3 * w_y - halfSEq_4 * w_z;
  SEqDot_omega_2 = halfSEq_1 * w_x + halfSEq_3 * w_z - halfSEq_4 * w_y;
  SEqDot_omega_3 = halfSEq_1 * w_y - halfSEq_2 * w_z + halfSEq_4 * w_x;
  SEqDot_omega_4 = halfSEq_1 * w_z + halfSEq_2 * w_y - halfSEq_3 * w_x;
  /*推定された四元数を計算*/
  SEq_1 += (SEqDot_omega_1 - (beta * SEqHatDot_1)) * deltat;
  SEq_2 += (SEqDot_omega_2 - (beta * SEqHatDot_2)) * deltat;
  SEq_3 += (SEqDot_omega_3 - (beta * SEqHatDot_3)) * deltat;
  SEq_4 += (SEqDot_omega_4 - (beta * SEqHatDot_4)) * deltat;
  /*四元数を正規化する*/
  norm = sqrt(SEq_1 * SEq_1 + SEq_2 * SEq_2 + SEq_3 * SEq_3 + SEq_4 * SEq_4);
  SEq_1 /= norm;
  SEq_2 /= norm;
  SEq_3 /= norm;
  SEq_4 /= norm;
  /*地球フレームでフラックスを計算する*/
  SEq_1SEq_2 = SEq_1 * SEq_2;   //axulirary変数を再計算する
  SEq_1SEq_3 = SEq_1 * SEq_3;
  SEq_1SEq_4 = SEq_1 * SEq_4;
  SEq_3SEq_4 = SEq_3 * SEq_4;
  SEq_2SEq_3 = SEq_2 * SEq_3;
  SEq_2SEq_4 = SEq_2 * SEq_4;
  h_x = twom_x * (0.5f - SEq_3 * SEq_3 - SEq_4 * SEq_4) + twom_y * (SEq_2SEq_3 - SEq_1SEq_4) + twom_z * (SEq_2SEq_4 + SEq_1SEq_3);
  h_y = twom_x * (SEq_2SEq_3 + SEq_1SEq_4) + twom_y * (0.5f - SEq_2 * SEq_2 - SEq_4 * SEq_4) + twom_z * (SEq_3SEq_4 - SEq_1SEq_2);
  h_z = twom_x * (SEq_2SEq_4 - SEq_1SEq_3) + twom_y * (SEq_3SEq_4 + SEq_1SEq_2) + twom_z * (0.5f - SEq_2 * SEq_2 - SEq_3 * SEq_3);
  /*磁束ベクトルを正規化してxとzの成分のみを持つようにする*/
  b_x = sqrt((h_x * h_x) + (h_y * h_y));
  b_z = h_z;
}


void  setup()  {}

void  loop  ()  {}